Aqui introduzimos a subtração de frações, ou seja, subtrair uma fração de outra. Começamos com uma simples subtração de frações com o mesmo denominador. De seguida, apresentaremos todas as informações sobre a subtração de frações com denominadores diferentes e sobre a subtração de frações mistas. O artigo é concluído com um vídeo sobre a subtração de frações. Com a calculadora para subtrair frações, pode efetuar qualquer cálculo aqui.
As frações são subtraídas, tornando-as primeiro semelhantes e depois subtraindo os numeradores. Cada fração é assim expandida primeiro de forma a que todas as frações a subtrair tenham o mesmo denominador. Os numeradores das frações com o mesmo denominador são então subtrados, desde que o denominador comum seja o mesmo.
De seguida, explicaremos passo-a-passo, com exemplos, primeiro a subtração de frações com o mesmo denominador, depois, a subtração de frações com denominadores diferentes e, por fim, a subtração de frações mistas.
Como subtrair frações semelhantes (mesmo denominador)?
Se as frações a subtrair já tiverem o mesmo nome (possuem todas o mesmo denominador), pode simplesmente subtrair os numeradores das frações. O denominador comum mantém-se. Desta forma, obtém-se a diferença entre as frações.
Exemplo: Subtração de frações com o mesmo denominador
.
24
−
14
=
2 − 14
=
14
Neste exemplo, ambas as frações possuem o mesmo denominador, ou seja, ambas têm o mesmo número abaixo da barra de fração. Portanto, possuem o mesmo nome. Para subtrair as duas frações, apenas os dois números, ou seja, os dois numeradores acima da barra de fração, têm de ser subtraídos.
As frações têm nomes diferentes quando os respetivos números abaixo da barra de frações, ou seja, os dois denominadores das frações a subtrair, são diferentes. Para a subtração, as frações diferentes precisam de ser transformadas em frações semelhantes, tal como na adição de frações. Se têm o mesmo nome, ou seja, o mesmo denominador, só é necessário subtrair os numeradores acima da barra de fração, mantendo-se o denominador comum.
Exemplo: Subtração de frações diferentes
13
−
14
=
412
−
312
=
4 − 312
=
112
As duas frações a subtrair possuem os denominadores diferentes 3 e 4. Para a subtração, é preciso torná-los iguais. Para isso, ambas as frações são transformadas, de forma a que possuam o mesmo denominador, ou seja, um denominador comum. As frações são sempre transformadas de forma a que o seu valor, ou seja, o número de fração, não se altere. Existem diversas formas de transformar frações, as quais são descritas na página inicial sob o tópico Frações.
Igualar o denominador de frações
Duas frações podem ser tornadas semelhantes ao expandir uma fração com o denominador da outra. Assim, multiplica-se o numerador e o denominador de uma fração, pelo denominador de outra fração.
Expandir
Expandir uma fração é a transformação na qual o valor da fração, ou seja, o número de fração, não se altera. Tal deve-se ao facto da fração representada ser apenas dividida em secções mais pequenas, isto é, a fração ou a divisão é refinada.
As frações são expandidas ao multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número.
Igualar o denominador utilizando o exemplo
Assim, é possível fazer com que as duas frações do exemplo acima tenham o mesmo denominador, da seguinte forma:
A fração da esquerda é expandida com o denominador 4 da fração da direita. Expandir por 4 significa multiplicar o numerador e o denominador da fração do lado esquerdo por 4.
13
=
1 × 43 × 4
=
412
A fração do lado direito é expandida com o denominador 3 da fração da esquerda. Expandir por 3 significa multiplicar o numerador e o denominador da fração do lado direito por 3.
14
=
1 × 34 × 3
=
312
Agora as duas frações com o mesmo denominador podem ser subtraídas, como mostrado no exemplo seguinte:
412
−
312
=
4 − 312
=
112
Nota
A "fração semelhante" descrita tem como base a expansão de duas frações, de forma a que os dois denominadores diferentes são finalmente multiplicados. No entanto, isto faz com que, frequentemente, os valores das frações expandidas se tornem muito grandes, o que torna os cálculos posteriores mais demorados. Para as tornar iguais, deve-se, por isso, determinar o denominador comum mais pequeno (denominador principal) das frações. O denominador principal é o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores e é, por essa razão, normalmente mais pequeno que a multiplicação dos dois denominadores. Pode ler mais sobre o mínimo denominador comum em calculadora-frações.
As frações mistas são compostas por um número inteiro e uma fração comum. Também são chamadas de números mistos. Para subtrair frações mistas, o número inteiro de cada fração é primeiro convertido para a fração correspondente, de forma a que as duas frações possam ser subtraídas. Com este fim, como em qualquer subtração de fração, elas têm de ser tornadas semelhantes, se necessário, para que os numeradores possam ser subtraídos, enquanto o denominador se mantém.
Exemplo: Subtração de frações mistas
223
−
213
=
83
−
73
=
13
A parte inteira das duas frações mistas, ou seja, o 2 em cada caso, foi aqui convertido para seis terços cada e adicionado à sua fração associada. As duas frações mistas foram assim convertidas em frações impróprias. As frações são chamadas de impróprias se o numerador for maior que o denominador.
Conversão de frações mistas em frações impróprias
Uma fração mista, ou número misto, é convertida para uma fração imprópria ao multiplicar a parte inteira pelo denominador e depois adicionar o numerador. Entretanto, o denominador mantém-se inalterado.
Conversão utilizando o exemplo
As duas frações mistas do exemplo acima são assim convertidas em frações impróprias da seguinte forma:
O número misto da esquerda é transformado da seguinte forma: O número inteiro 2 é multiplicado pelo denominador 3 e adicionado ao numerador anterior 2.
223
=
2 × 3 + 23
=
83
O número misto da direita é transformado da seguinte forma: O número inteiro 2 é multiplicado pelo denominador 3 e adicionado ao numerador anterior 1.
213
=
2 × 3 + 13
=
73
Subtração das duas frações
Uma vez que as duas frações transformadas já têm o mesmo denominador, podem agora ser subtraídas.
