Fracções

Frações - com calculadora, regras e exemplos

Fracções ﹣ Calculadora

Com a ferramenta calculadora de frações, pode adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir qualquer fração. O cálculo de frações é explicado em detalhe. Entre outras coisas, falamos sobre expandir e simplificar frações e igualar duas frações para a adição. O inverso da fração para a divisão é considerado, bem como a conversão final de uma fração imprópria numa fração mista.

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Ajuda na Inserção de Dados na Calculadora de Frações

Com a ajuda da calculadora de frações, duas frações podem ser juntas utilizando as nossas quatro operações aritméticas básicas. Tanto frações apropriadas como mistas podem ser adicionadas, subtraídas, multiplicadas ou divididas. Todas as transformações de frações adequadas para o cálculo do resultado são exibidas e explicadas passo-a-passo na janela de resultados.

Frações apropriadas ou mistas

Frações: Frações apropriadas ou mistas Selecione se pretende introduzir ’frações próprias’ ou ‘frações mistas’ para o cálculo. Abaixo, encontrará mais informações sobre as diferenças entre frações ordinárias e mistas.

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O Que São Frações?

As frações são uma notação especial da divisão, onde o numerador acima da barra de fração é dividido pelo denominador ou divisor abaixo da barra de fração. Esta notação pode ser utilizada, por exemplo, para efetuar a adição de duas divisões e, assim, a adição de duas frações utilizando certas regras de frações, que discutiremos abaixo. Primeiro, explicamos as definições de diferentes tipos de frações.

O que é uma fração apropriada?

Uma fração apropriada representa a parte fracionária de um todo. O denominador em baixo indica em quantas partes o todo foi dividido. O numerador no topo indica quantas partes do todo são pretendidas. Por exemplo, pode pensar-se em ¾, ou seja, três quartos, como três fatias de pizza, tendo a pizza sido dividida num total de quatro fatias, ou seja, quatro quartos.

Exemplo

34 é uma fração apropriada, porque 3 ÷ 4 = 0.75 é maior que 1, por isso fração apropriada de um todo.

O que é uma fração imprópria?

Uma fração imprópria existe se o numerador for maior ou igual ao denominador. Então o resultado já não é uma fração de um todo, mas maior ou igual a um.

Exemplo

54 é uma fração imprópria, porque 5 ÷ 4 = 1.75 é maior que 1, por isso não é uma fração de um todo.

O que é uma fração comum (ordinária)?

Uma fração comum, também chamada de fração ordinária, tem a representação de um número inteiro como o seu numerador e denominador.

Exemplo

34 ou 54 são frações comuns ou ordinárias.

O que é uma fração mista?

Uma fração mista, também chamada de número misto, é composta por um número inteiro e uma fração comum. O número inteiro e a fração são juntos. Por exemplo, a fração mista 2¼ = 2 + ¼. Enquanto as frações real e imprópria são frações comuns, ou ordinárias, a fração mista, como descrito anteriormente, é a composição de um número inteiro e uma fração comum juntos. Uma fração imprópria pode ser separada desta forma na sua parte inteira e a fração apropriada restante. Por exemplo, a fração imprópria 3/2 pode ser separada em 1 e ½, isto é, pode ser transformada na fração mista 1½.

Exemplo

114 é uma fração mista.

O que é uma fração decimal?

Uma fração cujo denominador é 10, 100, 1000, etc., isto é, uma fração cujo denominador forma uma potência de dez, é chamada uma fração decimal (fração de dez). Em muitos casos, é possível transformar uma fração numa fração decimal,expandindo ou reduzindo-a, desde que a conversão resulte num denominador com potência de dez. Qualquer fração decimal também pode ser convertida num número decimal e vice-versa. Por exemplo: 43/100 = 0,43.

Exemplo

3100 ou 541000 são frações decimais.

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Como se Transformam Frações?

As transformações de frações, isto é, alterações de frações sem alterar o seu valor (número de fração), são geralmente um pré-requisito para efetuar cálculos com frações. Para a adição e subtração de frações, por exemplo, é necessário que as duas frações possuam inicialmente o mesmo denominador, o que faz com que seja necessário expandir ou simplificar as frações. Estas e outras transformações são explicadas abaixo. As transformações aqui apresentadas também são explicadas em detalhe na janela de resultado da calculadora de frações atrás dos botões de informação correspondentes e atribuídos ao cálculo de fração respetivo.

Como se expandem frações?

As frações são expandidas ao multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número. Isto serve para transformar uma fração na qual o valor da fração, ou seja, o número de fração, não se altera. Tal deve-se ao facto da fração representada estar apenas dividida em secções mais pequenas. A divisão é assim refinada. Por exemplo, no caso da adição de duas frações, uma expansão serve para multiplicar o denominador mais pequeno de uma fração pelo seu numerador de forma a que seja igual ao denominador maior da outra fração.

Exemplo: Expandir frações

  • Para expandir a fração 34 por 5, multiplique o numerador e o numerador por 5 e obtenha 3 × 54 × 5 = 1520.
  • A fração 34 foi assim expandida por 5 para 1520, , onde as duas frações conservam o mesmo valor.

Como se simplificam frações?

Tal como as frações podem ser expandidas, também podem ser simplificadas. As frações são simplificadas ao dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número. Isto não altera o valor da fração ou número fracionário, porque a parte representada pela fração é apenas dividida em secções maiores, isto é, a divisão é menor. A simplificação também é utilizada, por exemplo, para transformar a adição e subtração de frações para o mesmo denominador, como descrito abaixo. Além disso, numeradores e denominadores possivelmente grandes no resultado, após multiplicar duas frações, podem ser convertidos em valores mais pequenos pela simplificação.

Exemplo: Simplificar frações

  • Para expandir a fração 1040 por 5, multiplique o numerador e o denominador por 5 e obtenha 10 ÷ 540 ÷ 5 = 28
  • 1040 foi assim simplificada por 5 para 28, onde ambas frações conservam o mesmo valor.
  • 28 ainda poderia ser simplificada novamente por 2, ficando com 14, que não pode ser mais simplificado.

Porque é necessário o máximo divisor comum na simplificação?

De forma a continuar a calcular com números que são o mais pequenos possível, isto é, funcionais, as frações devem ser simplificadas o máximo possível. Isto é alcançado ao dividir o numerador e o denominador da fração pelo seu máximo divisor comum (MDC).

Exemplo: Simplificar com o máximo divisor comum

  • Com base no exemplo acima com a fração 1040, o máximo divisor comum de 10 e 40 é 10.
  • É possível simplificar a fração por 10 para obter a fração que não pode ser mais simplificada. Então o numerador e o denominador já não possuem nenhum divisor comum à exceção do 1.

Como fazer com que frações tenham o mesmo nome?

Frações comuns que possuam o mesmo denominador são chamadas de homónimas. Se as frações são expandidas de forma a que tenham o mesmo denominador, são chamadas de homónimas. Por exemplo, duas frações podem ser tornadas homónimas ao expandir uma fração com o denominador da outra fração. Isto significa que tanto o numerador como o denominador de uma fração são multiplicados pelo denominador de outra fração. Uma vez que os dois denominadores são sempre multiplicados, os valores das frações expandidas pode tornar-se frequentemente muito grande, o que pode tornar os cálculos seguintes mais complicados. Em cálculos práticos, deve, por isso, calcular-se o denominador comum mais pequeno (denominador principal) das frações, de forma a torná-las iguais. O denominador principal é o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores, o qual é frequentemente menor que a multiplicação dos dois denominadores. Explicaremos isto em mais detalhe na secção seguinte.

Fazer com que as frações possuam o mesmo denominador é utilizado, por exemplo, na adição e subtração de frações: Se as duas frações possuem o mesmo denominador, os numeradores das duas frações podem ser adicionados ou subtraídos, enquanto o denominador, que é o mesmo em ambas frações, mantém-se inalterado.

Exemplo: Tornar frações semelhantes

  • As frações 16 e 38 devem ter o mesmo nome.
  • Expandimos a fração da esquerda 16 por 8, isto é, com o denominador da fração do lado direito.
  • Expandimos a fração direita 38 com o denominador 6 da fração da esquerda.
  • Assim obtém-se frações com o mesmo denominador 848 e 1848.

Porque é necessário o mínimo denominador comum ao determinar o mesmo valor?

De forma a ser possível continuar com o cálculo com os números funcionais mais pequenos possível no curso do cálculo, deve ser determinado o mínimo denominador comum. Este denominador, também chamado de denominador principal, é o mínimo múltiplo comum (MMC) dos dois denominadores.

Exemplo: Mesmo nome com o mínimo denominador comum

  • Com base no desenho acima com as frações 16 e 38, o mínimo múltiplo comum dos dois denominadores 6 e 8 é o 24.
  • Por isso é possível expandir apenas a fração do lado esquerdo por 4, em vez de 8, e expandir a fração do lado direito por 3, em vez de 6.
  • Desta forma obtém-se frações com o mesmo denominador 424 e 924 com o 24 como mínimo denominador comum.

Como se forma o inverso de uma fração?

O inverso de uma fração é obtido ao trocar o numerador e o denominador da fração. Se pretende dividir uma fração por outra fração, também pode formar o inverso da fração de uma fração e depois multiplicar as duas frações.

Exemplo: Frações com inverso de frações

34  ÷  13  =  34  ×  31

Como se converte uma fração num número decimal?

Para calcular o número decimal de uma fração, simplesmente divide-se o numerador pelo denominador.

Exemplo: Conversão de uma fração para número decimal

34  = 3 ÷ 4 = 0,75

Como se transforma uma fração fictícia numa fração mista?

Uma fração imprópria pode ser dividida na sua parte inteira e na fração apropriada restante. A parte inteira é a divisão do numerador pelo numerador. A fração apropriada restante é obtida ao dividir o numerador pelo denominador utilizando o resto (cálculo módulo).

Exemplo: Transformar fração imprópria em fração mista

  • 54  = 5 ÷ 4 = 1,25 ⇒ ⇒ A parte inteira da fração mista é 1
  • 5 módulo 4 = 0,25 ("O resto de 5 ÷ 4 é 0,25")
  • 0,25 = 25100 = 14 ⇒ A fração apropriada da fração mista é ¼.
  • Assim, a fração mista é 114.

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Como se Adicionam Frações?

As frações são adicionadas tornando-as, primeiro, semelhantes. Os numeradores são adicionados enquanto o denominador comum se mantém inalterado.

Exemplo para a adição de frações

34 + 13 = 912 + 412 = 9+412 = 1312 = 1112

Para uma descrição mais detalhada das regras para adicionar frações e um exemplo compreensivo, veja o nosso artigo sobre o tópico Adicionar Frações.

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Como Subtrair Frações

As frações são subtraídas tornando-as, primeiro, semelhantes. Os numeradores são subtraídos enquanto o denominador comum se mantém inalterado.

Exemplo de subtração de frações

3413 = 912412 = 9−412 = 512

Para uma descrição mais detalhada das regras para subtrair frações e um exemplo compreensivo, veja o nosso artigo sobre o tópico Subtrair Frações.

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Como Multiplicar Frações

As frações são multiplicadas multiplicando os dois numeradores e os dois denominadores.

Exemplo de multiplicação de frações

34 × 13 = 3×14×3 = 312

Para uma descrição mais detalhada das regras para multiplicar frações e um exemplo compreensivo, veja o nosso artigo sobre o tópico Multiplicar Frações.

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Como Dividir Frações

As frações são divididas ao multiplicar uma fração pelo inverso da outra fração.

Exemplo de divisão de frações

34 ÷ 13 = 34 × 31 = 3×34×1 = 94

Para uma descrição mais detalhada das regras para dividir frações e um exemplo compreensivo, veja o nosso artigo sobre o tópico Dividir Frações.

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Como Opera a Calculadora de Frações?

A calculadora de frações domina todas as operações aritméticas básicas apresentadas aqui para calcular frações. Numa primeira etapa, a calculadora de frações primeiro organiza quaisquer sinais negativos das frações introduzidas. Se tiverem sido inseridas frações mistas, a calculadora de frações convertê-las-á em frações não-mistas. Na etapa seguinte, a calculadora simplifica as frações o máximo possível.

Se as frações devem ser adicionadas ou subtraídas, a calculadora de frações torna as duas frações semelhantes e depois adiciona ou subtrai os numeradores. Se as duas frações devem ser multiplicadas ou divididas, a calculadora faz isso para o numerador e denominador, por meio do qual o inverso da fração de uma das duas frações é primeiro gerado para esta divisão.

O resultado calculado desta forma ainda é uma fração irreal em alguns cálculos. Esta fração é convertida por fim pela calculadora de frações numa fração mista. O resultado calculado desta forma ainda é uma fração imprópria em alguns cálculos. Esta fração é convertida por fim numa fração mista pela calculadora de frações.

Exemplo de Cálculos com a Calculadora de Frações

Tarefa

1−5−8 + 224

1. Organizar sinais negativos

Nesta etapa, a calculadora de frações elimina os sinais negativos de frações com numeradores negativos e denominadores negativos. E, se apenas o denominador for negativo, a calculadora altera o numerador correspondente para negativo.

  • Se ambos numerador e denominador de uma fração são negativos, os dois sinais negativos podem ser eliminados, porque dividir dois valores negativos, da mesma forma que dividir dois valores positivos, dá um resultado positivo ("menos dividido por menos dá mais").
  • Se, no caso de frações, apenas o denominador for negativo, o sinal negativo pode ser colocado antes no numerador. Tal deve-se ao facto de dividir um valor positivo por um valor negativo origina um resultado negativo, da mesma forma que, dividir um valor negativo por um valor positivo.

Estas transformações ajudam a melhorar a ordem e, desta forma, a claridade dos cálculos seguintes.

158 + 224

2. Converter frações mistas em não-mistas

A calculadora de frações converte as frações mistas anteriores em frações não-mistas, isto é, o número inteiro antes da fração é adicionado à fração associada:

  • O número inteiro associado com a fração à esquerda, isto é, 1 é convertido para 8/8 e depois adicionado à fração associada.
  • O número inteiro associado com a fração à direita, isto é, 2 é convertido para 8/4 e depois adicionado à fração associada.

138 + 104

3. Simplificar frações

Aqui, a fração do lado direito é simplificada pela calculadora de frações. De forma a ser possível calcular com os números mais pequenos possíveis no futuro, as frações devem ser simplificadas o máximo possível, ao dividir o numerador e o denominador de cada fração pelo seu máximo divisor comum.

A fração da esquerda não pode ser simplificada porque o seu numerador e denominador não possuem nenhum divisor comum à exceção do um.

O máximo divisor comum da fração do lado direito, isto é, o máximo divisor comum do numerador 10 e do denominador 4, é o 2. Consequentemente, o numerador e o denominador podem ser divididos por 2 para simplificar a fração: 104 = 52

138 + 52

4. Igualar o denominador de todas as frações

Para adicionar as duas frações, a calculadora de frações torna-as semelhantes. Para isto, é calculado o mínimo múltiplo comum. O mínimo múltiplo comum (MMC) dos dois denominadores 8 e 2 é o 8.

  • A fração do lado esquerdo é, assim, expandida por 1, isto é o numerador 13 é multiplicado por 1 e o denominador 8 é multiplicado por 1, para que o denominador tenha o valor 8.
  • A fração do lado direito é, assim, expandida por 4, isto é o numerador 5 é multiplicado por 4 e o denominador 2 é multiplicado por 4, para que o denominador também tenha o valor 8.

138 + 208

5. Adicionar frações com o mesmo denominador

Isto leva ao resultado intermediário da tarefa de fração introduzida. Para o fazer, a calculadora de frações adiciona os numeradores das duas frações com o mesmo denominador. O denominador comum mantém-se inalterado.

13 + 208 = 338

6. Resultado (Converter por fim frações impróprias em mistas)

Isto é, finalmente, o resultado da tarefa de cálculo de fração introduzida. Aqui, a calculadora de frações converte, por fim, a fração imprópria do resultado intermediário na fração mista correspondente. Esta fração mista é calculada ao dividir, com resto (cálculo módulo), o numerador pelo denominador da fração imprópria:

33 ÷ 8 = 4 Resto 1

Então a fração mista consiste de uma parte inteira 4 e a parte restante 18.

= 418

Fonte de informação

Como fonte de informação na categoria "Fracções", utilizámos nomeadamente:

Última actualização em 24.01.2023

As últimas alterações na categoria "Fracções" foram efetuadas por Michael Mühl em 24.01.2023. As principais alterações foram:

  • 24.01.2023: Publicação do tópico Fracções juntamente com os textos correspondentes.
  • Revisão editorial de todos os textos desta categoria