Fractions

Fractions - avec calculateur, règles et exemples

Fractions ﹣ Calculateur

Avec l'aide du calculateur de fraction, deux fractions peuvent être liées ensemble en utilisant les quatre opérations arithmétiques de base. Les fractions propres et mixtes peuvent être additionnées, soustraites, multipliées ou divisées. Toutes les transformations des fractions propres pour calculer le résultat sont affichées et dérivées étape par étape dans la fenêtre de résultat.

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Aide à la saisie pour le calculateur de fraction

Avec l'aide du calculateur de fraction, deux fractions peuvent être liées ensemble en utilisant les quatre opérations arithmétiques de base. Les fractions propres et mixtes peuvent être additionnées, soustraites, multipliées ou divisées. Toutes les transformations des fractions propres pour calculer le résultat sont affichées et dérivées étape par étape dans la fenêtre de résultat.

Fractions propres ou mixtes

Fractions: Fractions propres ou mixtes Veuillez indiquer si vous souhaitez saisir des "fractions propres" ou des "fractions mixtes" pour le calcul. Ci-dessous, vous trouverez plus d'informations sur la différence entre les fractions ordinaires et mixtes.

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Que sont les fractions ?

Les fractions forment une notation spéciale pour la division, où le numérateur au-dessus de la barre de fraction est divisé par le dénominateur ou diviseur sous la barre de fraction. Cette notation peut être utilisée, par exemple, pour effectuer l'addition de deux divisions et donc l'addition de deux fractions en utilisant certaines règles pour les fractions, dont nous parlerons ci-dessous. Tout d'abord, les définitions des différents types de fractions sont expliquées ici.

Qu'est-ce qu'une fraction propre ?

Une fraction propre représente la partie fractionnaire d'un tout. Le dénominateur en bas indique en combien de parties le tout a été divisé. Le numérateur en haut indique combien de parties de l'ensemble sont signifiées. Par exemple, vous pouvez considérer ¾, c'est-à-dire trois quarts, comme trois morceaux de pizza, où la pizza a été divisée en un total de quatre morceaux, c'est-à-dire quatre quarts.

Exemple

34 est une fraction propre, car 3 ÷ 4 = 0,75 75 est inférieur à 1, c'est donc une fraction propre d'un tout.

Qu'est-ce qu'une fraction impropre ?

Une fraction impropre existe si la quantité du numérateur est supérieure ou égale à la quantité du dénominateur. Ensuite, le résultat n'est plus une fraction d'un tout, mais supérieur ou égal à un.

Exemple

54 est une fraction impropre, car 5 ÷ 4 = 1,75 75 est supérieur à 1, il n'est donc pas une fraction d'un tout.

Qu'est-ce qu'une fraction commune (ordinaire) ?

Une fraction commune, également appelée fraction ordinaire, a la représentation d'un nombre entier comme numérateur et dénominateur.

Exemple

34 ou 54 sont des fractions communes ou ordinaires.

Qu'est-ce qu'une fraction mixte ?

Une fraction mixte, également appelée nombre mixte, est composée d'un nombre entier et d'une fraction commune. Le nombre entier et la fraction sont additionnés. Par exemple, la fraction mixte est 2¼ = 2 + ¼. Alors que la fraction réelle et la fraction impropre sont des fractions ordinaires ou communes, la fraction mixte, telle que décrite précédemment, est la composition d'un entier et d'une fraction commune additionnés. Une fraction impropre peut être divisée de cette manière en sa partie entière et la fraction propre restante. Par exemple, la fraction impropre 3/2 peut être divisée en 1 et ½, c'est-à-dire qu'elle peut être transformée en fraction mixte 1½.

Exemple

114 est une fraction mixte.

Qu'est-ce qu'une fraction décimale ?

Une fraction dont le dénominateur est 10, 100, 1 000, etc., c'est-à-dire une fraction dont le dénominateur forme une puissance de dix, est appelée fraction décimale (fraction de dix). Dans de nombreux cas, vous pouvez transformer une fraction en fraction décimale en l'agrandissant ou en la réduisant, à condition que la conversion aboutisse à un dénominateur de puissances de dix. Toute fraction décimale peut également être convertie en un nombre décimal, et vice versa. Par exemple : 43/100 = 0,43.

Exemple

3100 ou 541000 sont des fractions décimales.

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Comment les fractions sont-elles transformées ?

Les transformations de fractions, c'est-à-dire les changements de fractions sans changer leur valeur (nombre de fractions), sont généralement la condition préalable au calcul avec des fractions. Pour l'addition et la soustraction de fractions, par exemple, il est nécessaire que les deux fractions aient initialement le même dénominateur, ce qui oblige à son tour à développer ou raccourcir les fractions. Ces transformations et d'autres sont expliquées ci-dessous. Les transformations présentées ici sont également expliquées en détail dans la fenêtre de résultat du calculateur de fraction, derrière les boutons d'information correspondants, et affectées au calcul de fraction respectif.

Comment les fractions sont-elles développées ?

Les fractions sont développées en multipliant à la fois le numérateur et le dénominateur par le même nombre. Cela sert à transformer une fraction dans laquelle la valeur de la fraction, c'est-à-dire le nombre de fraction, n'est pas modifiée. En effet, la fraction représentée par la fraction n'est divisée qu'en sections plus petites. La division est donc affinée. Par exemple, dans le cas d'une addition de deux fractions, un développement sert à multiplier le plus petit dénominateur d'une fraction par son numérateur pour qu'il soit égal au plus grand dénominateur de l'autre fraction.

Exemple : développement de fractions

  • • Pour développer la fraction 34 par 5, multipliez le numérateur et le dénominateur par 5 et obtenez 3 × 54 × 5 = 1520.
  • La fraction 34 a donc été développée par 5 à 1520, où les deux fractions conservent la même valeur.

Comment les fractions sont-elles raccourcies ?

Tout comme les fractions peuvent être développées, elles peuvent également être raccourcies. Les fractions sont raccourcies en divisant à la fois le numérateur et le dénominateur par le même nombre. Cela ne change pas la valeur de la fraction ou du nombre fractionnaire, car la partie représentée par la fraction n'est divisée qu'en sections plus grandes, c'est-à-dire que la division est plus grossière. Le raccourcissement est également utilisé, par exemple, pour amener l'addition et la soustraction de fractions au même dénominateur, comme décrit ci-dessous. De plus, les grands numérateurs et dénominateurs éventuellement présents dans le résultat après la multiplication de deux fractions peuvent être convertis en valeurs plus petites par raccourcissement.

Exemple : raccourcissement des fractions

  • Pour raccourcir la fraction 1040 par 5, divisez le numérateur et le dénominateur par 5 et obtenez 10 ÷ 540 ÷ 5 = 28
  • 1040 a donc été raccourcie par 5 à 28, où les deux fractions conservent la même valeur.
  • 28 pourrait même être raccourcie à nouveau par 2, de sorte que vous obtenez 14, qui ne peut alors plus être raccourci.

Pourquoi avons-nous besoin du plus grand diviseur commun lors du raccourcissement ?

Afin de continuer à calculer avec des nombres aussi petits que possible, c'est-à-dire gérables, les fractions doivent également être raccourcies autant que possible. Ceci est réalisé en divisant le numérateur et le dénominateur de la fraction par leur plus grand commun diviseur (PGCD).

Exemple : raccourcissement avec le plus grand commun diviseur

  • Basé sur l'exemple ci-dessus avec la fraction 1040, le plus grand commun diviseur de 10 et 40 est 10.
  • Vous pouvez donc raccourcir la fraction de 10 pour obtenir la fraction qui ne peut pas être raccourcie davantage. Ensuite, le numérateur et le dénominateur n'ont plus de diviseurs communs sauf 1.

Comment faites-vous pour que les fractions soient semblables

Les fractions communes qui ont le même dénominateur sont appelées semblables. Si les fractions sont développées de manière à avoir les mêmes dénominateurs, elles sont appelées semblables. Par exemple, deux fractions peuvent être rendues semblables en développant une fraction avec le dénominateur de l'autre fraction. Cela signifie que le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont multipliés par le dénominateur de l'autre fraction. Comme les deux dénominateurs sont toujours multipliés, les valeurs des fractions développées peuvent souvent devenir très grandes, ce qui pourrait compliquer les calculs ultérieurs. Dans les calculs pratiques, le plus petit dénominateur commun (dénominateur principal) des fractions doit donc être déterminé afin de les rendre égales. Le dénominateur principal est le plus petit commun multiple (PPCM) des dénominateurs, qui est souvent inférieur à la multiplication des deux dénominateurs. Nous expliquerons cela plus en détail dans la section suivante.

Les faire avoir le même dénominateur est utilisé, par exemple, dans l'addition et la soustraction de fractions : si les deux fractions ont le même dénominateur, les numérateurs des deux fractions peuvent être additionnés ou soustraits, tandis que le dénominateur, qui est le même pour les deux fractions, reste inchangé.

Exemple : rendre les fractions égales

  • Les fractions 16 et 38 doivent avoir le même nom.
  • Développement de la fraction gauche 16 avec 8, c'est-à-dire avec le dénominateur de la fraction de droite.
  • Développer la bonne fraction 38 avec le dénominateur 6 de la fraction de gauche.
  • C'est ainsi que vous obtenez les fractions du même dénominateur 848 et 1848.

Pourquoi avez-vous besoin du plus petit dénominateur commun pour déterminer la même valeur ?

Pour pouvoir continuer à calculer avec les nombres les plus faibles et les plus faciles à gérer au cours d'un calcul, il faut déterminer le plus petit dénominateur commun possible. Ce dénominateur, également appelé dénominateur principal, est le plus petit commun multiple (PPCM) des deux dénominateurs.

Exemple : même nom avec le plus petit dénominateur commun

  • Basé sur l'exemple ci-dessus avec les fractions 16 et 38, le plus petit commun multiple des deux dénominateurs 6 et 8 est 24.
  • Vous ne pouvez donc développer la fraction de gauche que de 4 au lieu de, disons, 8, et augmenter la fraction de droite de 3 au lieu de, disons, 6.
  • De cette façon, vous obtenez les fractions avec le même dénominateur 424 et 924 comme plus petit dénominateur commun.

Comment formez-vous l'inverse d'une fraction ?

L'inverse d'une fraction est obtenu en échangeant le numérateur et le dénominateur de la fraction. Si vous souhaitez diviser une fraction par une autre fraction, vous pouvez également former la fraction réciproque à partir d'une fraction, puis multiplier les deux fractions ensemble.

Exemple : fractions avec fractions réciproques

34  ÷  13  =  34  ×  31

Comment convertir une fraction en nombre décimal ?

Pour calculer le nombre décimal d'une fraction, il suffit de diviser le numérateur par le dénominateur.

Exemple : conversion d'une fraction en nombre décimal

34  = 3 ÷ 4 = 0,75

Comment remodeler une fraction impropre en une fraction mixte ?

Une fraction impropre peut être divisée en sa partie entière et la fraction propre restante. La partie entière est la division du numérateur par le dénominateur. La fraction propre restante est obtenue en divisant le numérateur par le dénominateur en utilisant le reste (calcul modulo).

Exemple : transformation d'une fraction impropre en fraction mixte

  • 54  = 5 ÷ 4 = 1,25 ⇒ La partie entière de la fraction mixte est 1
  • 5 modulo 4 = 0,25 ("Le reste de 5 ÷ 4 est de 0,25")
  • 0,25 = 25100 = 14 ⇒ La fraction propre de la fraction mixte est ¼.
  • Par conséquent, la fraction mixte est 114.

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Comment les fractions sont-elles additionnés ?

Les fractions sont additionnées en les rendant d'abord égales. Les numérateurs sont additionnés tandis que le dénominateur commun reste inchangé.

Exemple pour l'addition de fractions

34 + 13 = 912 + 412 = 9+412 = 1312 = 1112

Pour une description plus détaillée des règles d'addition de fractions et un exemple complet, consultez notre article sur le sujet Additionner des fractions.

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Comment soustraire des fractions

Les fractions sont soustraites en les rendant d'abord égales. Les numérateurs sont soustraits tandis que le dénominateur commun reste inchangé.

Exemple de soustraction de fractions

3413 = 912412 = 9−412 = 512

Pour une description plus détaillée des règles de soustraction des fractions et un exemple complet, veuillez consulter notre article sur le sujet Soustraire des fractions.

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Comment multiplier des fractions

Les fractions sont multipliées en multipliant les deux numérateurs et les deux dénominateurs.

Exemple de multiplication de fractions

34 × 13 = 3×14×3 = 312

Pour une description plus détaillée des règles de multiplication des fractions et un exemple complet, consultez notre article sur le sujet Multiplier les fractions.

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Comment diviser des fractions

Les fractions sont divisées en multipliant une fraction par l'inverse de l'autre fraction.

Exemple de division de fractions

34 ÷ 13 = 34 × 31 = 3×34×1 = 94

Pour une description plus détaillée des règles de division des fractions et un exemple complet, consultez notre article sur le sujet Diviser des fractions.

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Comment le calculateur de fraction fonctionne-t-il ?

Le calculateur de fraction maîtrise toutes les opérations arithmétiques de base présentées ici pour calculer les fractions. Dans un premier temps, le calculateur de fraction organise d'abord tous les signes négatifs des fractions saisies. Si des fractions mixtes ont été saisies, le calculateur de fraction les convertit ensuite en fractions non mixtes. Dans l'étape suivante, le calculateur tronque les fractions autant que possible.

Si les fractions doivent être additionnées ou soustraites, le calculateur de fraction rend les deux fractions égales, puis additionne ou soustrait les numérateurs. Si les deux fractions doivent être multipliées ou divisées, le calculateur le fait à la fois pour le numérateur et le dénominateur, la fraction inverse de l'une des deux fractions étant d'abord générée pour la division.

Le résultat calculé de cette manière est encore une fraction irréelle dans certains calculs. Cette fraction est finalement convertie par le calculateur de fraction en une fraction mixte. Le résultat calculé de cette manière est encore une fraction impropre dans certains calculs. Cette fraction est finalement convertie en fraction mixte par le calculateur de fraction.

Exemples de calcul par le calculateur de fraction

Exercice

1−5−8 + 224

1. Trier les signes négatifs

Dans cette étape, le calculateur de fraction supprime les signes négatifs des fractions avec à la fois des numérateurs négatifs et des dénominateurs négatifs. Et, si seul le dénominateur est négatif, le calculateur rend le numérateur correspondant négatif à la place.

  • Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont négatifs, les deux signes négatifs peuvent être supprimés car diviser deux valeurs négatives de la même manière que diviser deux valeurs positives donne un résultat positif ("moins divisé par moins donne plus").
  • Si, dans le cas des fractions, seul le dénominateur est négatif, le signe négatif peut être placé avant le numérateur à la place. En effet, diviser une valeur positive par une valeur négative conduit à un résultat négatif de la même manière que, inversement, diviser une valeur négative par une valeur positive.

Ces transformations permettent d'améliorer l'ordre et donc la clarté des calculs suivants.

158 + 224

2. Convertir des fractions mixtes en fractions non mixtes

Le calculateur de fraction convertit ici les fractions précédemment mixtes en fractions non mixtes, c'est-à-dire le nombre entier avant que la fraction ne soit additionnée à la fraction associée :

  • L'entier associé à la fraction de gauche, c'est-à-dire 1, est d'abord converti en 8/8 puis additionné à la fraction associée.
  • L'entier associé à la fraction de droite, c'est-à-dire 2, a d'abord été converti en 8/4 puis additionné à la fraction associée.

138 + 104

3. Raccourcir les fractions

Ici, la fraction de droite est raccourcie par le calculateur de fraction. Afin de pouvoir calculer avec le plus petit nombre possible dans la suite du cours, les fractions doivent être raccourcies autant que possible en divisant le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par leur plus grand diviseur commun.

La fraction de gauche ne peut pas être raccourcie car son numérateur et son dénominateur n'ont pas de diviseur commun à l'exception de un.

Le plus grand commun diviseur de la fraction de droite, c'est-à-dire le plus grand commun diviseur du numérateur 10 et du dénominateur 4, est 2. Par conséquent, le numérateur et le dénominateur peuvent être divisés par 2 pour raccourcir la fraction : 104 = 52

138 + 52

4. Faire en sorte que toutes les fractions aient le même dénominateur

Pour additionner les deux fractions, le calculateur de fraction les rend égales. Pour ce faire, le plus petit commun multiple des dénominateurs est calculé ici. Le plus petit commun multiple (PPCM) des deux dénominateurs 8 et 2 est 8.

  • La fraction de gauche est donc développée par 1, c'est-à-dire que le numérateur 13 est multiplié par 1 et le dénominateur 8 est multiplié par 1 pour donner au dénominateur la valeur 8.
  • La fraction de droite est développée par 4, c'est-à-dire que le numérateur 5 est multiplié par 4 et le dénominateur 2 est multiplié par 4, de sorte que le dénominateur a ici aussi la valeur 8.

138 + 208

5. Additionner des fractions avec le même dénominateur

Cela conduit au résultat intermédiaire de l'exercice de fraction saisi. Pour ce faire, le calculateur de fraction additionne les numérateurs des deux fractions avec le même dénominateur. Le dénominateur reste inchangé.

13 + 208 = 338

6. Résultat (convertir enfin les fractions impropres en fractions mixtes)

C'est finalement le résultat de l'exercice de calcul de fraction saisi. Ici, le calculateur de fraction convertit finalement la fraction impropre du résultat intermédiaire en la fraction mixte correspondante. Cette fraction mixte est calculée en divisant, avec le reste (calcul modulo), le numérateur par le dénominateur de la fraction impropre :

33 ÷ 8 = 4 Restant 1

La fraction mixte est donc constituée de la partie entière 4 et de la partie restante 18.

= 418

Informations sur les sources

Nous avons utilisé, en particulier, les informations des sources suivantes pour la catégorie "Fractions"

Dernière mise à jour le 28.12.2022

Les derniers changements dans la catégorie "Fractions" ont été mis à jour par Michael Mühl le 28.12.2022. Les changements principaux sont les suivants :

  • 22.11.2022: Publication du thème Fraction avec les textes correspondants.
  • Révision éditoriale de tous les textes de cette catégorie