Comparado com os triângulos gerais, um triângulo equilátero é um tipo especial de triângulo porque tem três lados com exatamente o mesmo comprimento. Na secção seguinte, iremos utilizar um exemplo com um comprimento de lado dado para calcular a área, o perímetro, os ângulos e as alturas para o triângulo equilátero. Para fazer isto, iremos utilizar as fórmulas e as regras de cálculo que foram simplificadas especificamente para triângulos equiláteros.
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Antes de entrarmos no cálculo dos triângulos equiláteros mais detalhadamente, segue uma breve definição do triângulo equilátero.
Basicamente, um triângulo é definido por três pontos no plano que não se encontram numa linha reta. Os três pontos formam os cantos do triângulo. Cada linha de ligação entre esses dois cantos é um lado do triângulo. No plano, o triângulo, por conseguinte, delimita uma superfície.
A característica especial do triângulo equilátero quando comparado com o triângulo geral é que todos os três lados do triângulo possuem o mesmo comprimento, conforme ilustra a figura.
Por omissão, os cantos no sentido horário são identificados com as letras maiúsculas A, B, C. Os lados opostos a estes cantos são dados as letras minúsculas correspondentes a, b e c. No caso de um triângulo equilátero, todos os três lados são habitualmente designados como a.
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Os triângulos equiláteros diferem dos triângulos gerais apenas no facto de que todos os três lados têm o mesmo comprimento. Basicamente, um triângulo pode ser inequivocamente determinado se todos os três lados a, b e c forem conhecidos. Por conseguinte, é suficiente calcular um triângulo equilátero se apenas um lado for conhecido.
No entanto, no caso do triângulo equilátero com um lado a conhecido, também é possível fazer cálculos mais simples. Por exemplo, todos os três ângulos no triângulo equilátero também são sempre iguais e têm sempre 60 graus cada. Da mesma forma, o cálculo da área de um triângulo equilátero segue uma fórmula muito mais simples do que, por exemplo, no caso do triângulo geral com três lados a, b e c conhecidos, conforme constataremos abaixo.
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Abaixo, mostramos um exemplo do cálculo de um triângulo equilátero onde é conhecido o comprimento do lado a. Utilizando este valor conhecido, as outras propriedades do triângulo equilátero podem agora ser claramente determinadas passo-a-passo.
Exemplo
Usemos o comprimento do lado a = 5 cm. Dado que é um triângulo equilátero, o valor de todos três os lados já é conhecido
Explicação
Estamos à procura da área, do perímetro, dos ângulos e das alturas de todos os três lados do triângulo equilátero.
Pode inserir o valor dado para o lado a na calculadora do triângulo equilátero após selecionar "Um lado para um triângulo equilátero" em "Que valores são conhecidos?". A calculadora calculará então, como nos seguintes cálculos, todos os valores estabelecidos para o triângulo e também transmitirá um resultado gráfico do triângulo calculado.
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Num triângulo equilátero, tal como o nome sugere, todos os três lados são de igual comprimento. Por conseguinte, a seguinte fórmula simplificada aplica-se à área do triângulo equilátero, onde a é o comprimento de um lado.
Fórmula para a área de um triângulo equilátero
A = 3 / 4 × a²
Inserindo os valores existentes para o comprimento
Se inserir o valor para a, obtém
A = 3 / 4 × 5² ≈ 10,83 cm²
Solução
A área A do triângulo equilátero é 10,83 cm².
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Utilizando o comprimento dado para um lado e, assim sendo, todos os três lados, o perímetro do triângulo pode ser determinado da seguinte forma:
Fórmula: perímetro P de um triângulo equilátero
O perímetro de cada triângulo é a soma dos comprimentos de todos os três lados a, b e c.
P = a + b + c
Inserindo o valor existente
Se inserirmos o valor conhecido a = 5, que é válido para cada um dos três lados, obtemos
P = 5 + 5 + 5 = 15
Solução
O perímetro do triângulo equilátero é 15 cm.
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Solução
Em todos os triângulos equiláteros, todos os ângulos são iguais uns aos outros, ou seja, 60°.
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Para calcular a altura de a no triângulo equilátero, a seguinte fórmula pode ser usada ao invés da fórmula mais complicada para os triângulos gerais:
Fórmula para a altura de a no triângulo equilátero
ha = 3 / 2 × a
Inserindo os valores existentes
Substituindo o valor conhecido por a = 5 cm, obtemos
ha = 3 / 2 × 5 ≈ 4,33
Solução
A altura de a ou ha é 4,33 cm.
Dado que os lados b e c têm exatamente o mesmo comprimento de a, as suas alturas também são iguais a a.
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Finalmente, o triângulo equilátero calculado com o lado dado a = 5 pode ser desenhado utilizando todos os valores calculados.
Resultado gráfico
1 quadrado equivale a 0,5 unidades (tal como no livro aritmético)
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