Calcular Triângulo

Calcular o Triângulo Retângulo

Triângulo ﹣ Triângulo Retângulo

Um triângulo retângulo é um tipo especial de triângulo quando comparado com triângulos gerais porque, tal como o nome sugere, tem um ângulo retângulo ou um ângulo de 90 graus. Na secção seguinte, utilizaremos exemplos para calcular todos os valores importantes do triângulo retângulo utilizando as fórmulas especiais e regras de cálculo para os triângulos retângulos.

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Na página da nossa Calculadora do Triângulo encontrará imensa informação sobre o cálculo, não só de triângulos retângulos mas também de triângulos gerais. Alternativamente, visite os nossos guias sobre os tópicos "Área de um Triângulo" e "Triângulos Equiláteros".

Índice sobre o tópico "Triângulo Retângulo"

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Definição e Termos no Triângulo Retângulo

Definição e Termos no Triângulo Retângulo Antes de entrarmos nos cálculos dos triângulos retângulos mais detalhadamente, aqui tem uma breve definição e uma descrição dos termos especiais no triângulo retângulo.

Um triângulo é definido por três pontos no plano que não se encontram numa linha reta. Estes três pontos são os cantos do triângulo. Cada linha de ligação entre dois cantos é um lado do triângulo. No plano, o triângulo delimita uma superfície.

O triângulo retângulo difere de um triângulo geral é que um dos três ângulos é um ângulo reto, ou seja, um ângulo de 90 graus. Na ilustração exibida aqui, o ângulo reto pode ser visto no topo do canto C. Este é identificado pela terceira letra grega γ (gama), enquanto o ângulo no canto A é identificado com α (alfa) e no canto B por β (beta).

Como é habitual, os cantos são assinalados no sentido horário com as letras maiúsculas A, B e C e os lados opostos aos cantos são assinalados com as letras minúsculas a, b e c correspondentes.

O que são os catetos?

Num triângulo retângulo, os dois lados que estão ladeiam o ângulo reto designam-se por catetos. Dado que o ângulo reto na figura é o canto C, ou seja, γ, os catetos são os dois lados a e b que o ladeiam.

O que são o cateto adjacente e o cateto oposto?

Consoante o ângulo em consideração, os dois catetos também são designados por cateto adjacente e cateto oposto. Se olharmos para o ângulo não retângulo α no canto A da figura, o lado b é o cateto adjacente a a (encontra-se no ângulo α a ser examinado). O segundo cateto a, que se encontra oposto ao ângulo α, é o cateto oposto a a. Se, por outro lado, olharmos para o segundo ângulo não retângulo β no canto B, a designação mais precisa dos dois catetos inverte-se: o cateto adjacente a β é a e o cateto oposto a β é o cateto oposto b.

O que é a hipotenusa?

Embora os catetos sejam os dois lados que ladeiam o ângulo reto num triângulo retângulo, a hipotenusa é o lado oposto do ângulo reto. Se o ângulo reto está no ponto C, conforme a figura, o lado oposto c é a hipotenusa. Dado que o ângulo reto é sempre o maior ângulo num triângulo retângulo, a hipotenusa também é sempre o maior lado num triângulo retângulo.

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Introdução ao Cálculo de Triângulos Retângulos

Em termos gerais, podemos determinar de forma inequívoca um triângulo, entre outros fatores, exatamente quando um canto e dois lados que encerrem este ângulo são conhecidos. Por conseguinte, é suficiente calcular um triângulo retângulo se apenas os dois catetos, ex. os lados que encerram o ângulo reto, são conhecidos.

Mas o ângulo reto em si também assegura que algumas fórmulas e métodos de cálculo para calcular os triângulos retos são muito mais simples do que no triângulo geral. Por exemplo, na figura supra, a altura do lado a é exatamente igual ao comprimento do lado b e vice-versa. Isto significa que a altura de um lado é o comprimento do outro lado. No triângulo geral, contudo, as funções trigonométricas devem ser utilizadas para calcular estas alturas.

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Exemplo de Cálculo de um Triângulo Retângulo

No exemplo seguinte, iremos mostrar-lhe como calcular um triângulo retângulo onde os dois catetos são conhecidos. Utilizando estes dois valores dados, as outras propriedades do triângulo retângulo podem agora ser claramente determinadas, passo a passo.

Exemplo

Considerando o cateto a = 4 cm e o cateto b = 5 cm. Dado que é um triângulo retângulo, já se sabe que o ângulo reto é de 90 graus.

Explicação

Procura-se determinar o lado c em falta, o perímetro e a área do triângulo retângulo, os dois ângulos restantes, bem como as alturas de todos os três lados do triângulo retângulo.

Pode alterar estes valores na Calculadora do Triângulo Retângulo após selecionar "Dois catetos para um triângulo retângulo" em "Que valores são dados?" De seguida, a calculadora calcula – tal como nos cálculos seguintes – todos os valores procurados para o triângulo e também revela um resultado gráfico do triângulo calculado.

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Como é calculada a área do triângulo retângulo?

Num triângulo retângulo, os dois catetos conhecidos (aqui a e b) encerram o ângulo reto. Por conseguinte:

Fórmula para a área de um triângulo retângulo

A = ½ × a × b

Inserindo os valores existentes para os catetos

Se inserir os valores para os catetos, obtém

A = ½ × 4 × 5 = 10 cm²

Solução

A área A do triângulo retângulo é 10 cm².

Devido ao ângulo reto entre os dois lados conhecidos, a fórmula utilizada é uma simplificação da fórmula da área para os triângulos gerais, que aqui na calculadora é utilizada em "Dois lados com um ângulo incluído".

A fórmula da área para um triângulo retângulo pode ser ilustrada duplicando o triângulo retângulo e colocando os dois triângulos em conjunto pelo seu lado mais comprido, a hipotenusa, de modo a formar assim um retângulo. Este retângulo tem área a x b (cateto a vezes cateto b). Assim sendo, antes da duplicação, o triângulo tem exatamente metade da área, ex.½ × a × b.

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Como é calculado o lado em falta do triângulo retângulo?

Com os valores dados para os dois catetos a e b e para o ângulo reto, o comprimento do terceiro lado ainda desconhecido c, hipotenusa, pode ser calculado utilizando o teorema de Pitágoras.. .

Fórmula: teorema de Pitágoras

a² + b² = c²

quando convertido para c

c = a² + b²

Inserindo os valores existentes

Inserindo os valores para os catetos a = 4 e b = 5, obtemos

c = 4² + 5² ≈ 6,4

Solução

A hipotenusa, ou seja, o terceiro lado em falta c, tem um comprimento de 6,4 cm.

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Como é calculado o perímetro de um triângulo retângulo?

Utilizando os comprimentos dados para os dois catetos, os lados a e b, bem como o comprimento da hipotenusa, ou seja, o lado c, calculados entretanto, o perímetro do triângulo pode ser determinado da seguinte forma:

Fórmula: perímetro P de um triângulo retângulo

O perímetro de cada triângulo é a soma dos comprimentos de todos os três lados a, b e c.

P = a + b + c

Inserindo os valores existentes

Inserindo os valores dados a = 4 e b = 5 e o valor já calculado para c = 6,4, obtemos

U = 4 + 6 + 6.4 = 16,4

Solução

O perímetro do triângulo retângulo é 16,4 cm.

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Como são calculados os ângulos em falta do triângulo retângulo?

Cálculo do ângulo α

Primeiro, calculamos o ângulo α: os dois catetos conhecidos são os lados a e b. O ângulo α está no cateto b e oposto ao cateto a do triângulo. Assim sendo, tem o lado adjacente b = 5 e o lado oposto a = 4 cm.

Fórmula para calcular o ângulo α num triângulo retângulo

tan α = opposite cathetus α / adjacent α = a / b

Se converter a fórmula em α, obtém a função inversa da tangente, o arco tangente (arctan)

α = arctan (a / b)

Inserindo os valores existentes

Inserindo os valores para o cateto oposto a = 4 e o cateto adjacente b = 5, obtemos

α = arctan (4 / 5) = 0,67474 rad

Solução intermédia

O ângulo α do triângulo é 0,67474 rad.

Aqui, calculámos primeiro o radiano do ângulo α, abreviados como "rad". Com a ajuda de uma calculadora, o resultado também pode ser imediatamente convertido para graus. Neste caso, realizamos a conversão passo a passo: o radiano é convertido em graus utilizando:

Fórmula: conversão de radianos para graus

α° = α rad × 180 / π

Se substituir o resultado intermédio α rad, obtemos

α° = 0,67474 rad × 180 / 3,14 ≈ 38,66°

Solução

O ângulo α do triângulo é 38,66°.

Cálculo do ângulo β

Agora que o ângulo α já foi calculado e o ângulo reto ? com 90° já é mais do que conhecido, podemos calcular o ângulo β em falta. A soma dos ângulos pode ser utilizada para isto.

Fórmula: teorema da soma do ângulo

A soma dos três ângulos interiores α, β e ? de um triângulo é sempre 180 graus.

α° + β° + γ° = 180°

Se convertermos o teorema da soma do ângulo para β, obtemos

β° = 180° − α° − γ°

Inserindo os valores existentes

Se inserirmos o ângulo já calculado para α, bem como o ângulo ? dado, obtemos

β° = 180° − 38,66° − 90° = 51,34°

Solução

O ângulo β do triângulo é 51,34°.

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Como são calculadas as alturas num triângulo retângulo?

Altura de a e de b

Num triângulo retângulo, a altura do lado a é exatamente igual ao comprimento do outro lado, ou seja, o lado b. Isto deve-se ao facto de o lado b, enquanto lado, se encontrar num ângulo reto, ou seja, perpendicular a a, indo até ao ponto A do lado oposto a do triângulo.

Analogamente, a altura do cateto b é igual ao comprimento de a.

Fórmula para a altura de a num triângulo retângulo

A altura do cateto a é igual ao comprimento do segundo cateto b

ha = b

Fórmula para a altura de b num triângulo retângulo

A altura do cateto b é igual ao comprimento do segundo cateto a

hb = a

Solução

A altura de a, ou ha é 5 cm e a altura de b é 4 cm

Altura de c

Para calcular a altura da hipotenusa c, a seguinte fórmula pode agora ser utilizada:

Fórmula para a altura da hipotenusa c num triângulo retângulo

hc = a × sin β

Inserindo os valores existentes

Inserindo os valores conhecidos para a = 4 cm e para β = 51,34°, obtemos

hc = 4 × sin 51,34° ≈ 3,12

Solução

A altura de c, ou hc é 3,12 cm.

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Como é representado o triângulo retângulo calculado?

O triângulo retângulo calculado desta forma com os lados dados a = 4 cm and b = 5 cm pode ser desenhado utilizando todos os valores calculados da seguinte forma:

Resultado gráfico

Como é representado o triângulo retângulo calculado?

1 quadrado equivale a 0,5 unidades (conforme demonstrado no livro aritmético)

Fonte de informação

Como fonte de informação na categoria "Triângulo", utilizámos nomeadamente:

Última actualização em 12.01.2023

As últimas alterações na categoria "Triângulo" foram efetuadas por Michael Mühl em 12.01.2023. As principais alterações foram: